Εξώφυλλο

Ανθολογίες

Ανθολογία Αρχαίας Ελληνικής Γραμματείας

των Θ.Κ. Στεφανόπουλου, Στ. Τσιτσιρίδη, Λ. Αντζουλή, Γ. Κριτσέλη

Αρχική

Κατάλογος κειμένων

Συμφραστικός πίνακας

Εκδόσεις-Βραχυγραφίες

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

204. – Στοιχεῖα 1, 47

Το “Πυθαγόρειο θεώρημα”

Για τον μαθηματικό Ευκλείδη γνωρίζουμε ελάχιστα πράγματα: Η ακμή του τοποθετείται στα έτη 315-275 π.Χ. Μαθήτευσε στην πλατωνική Ακαδημία, έζησε όμως και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια. Η φήμη του στηρίζεται στα Στοιχεῖα του (13 βιβλία), ένα υποδειγματικά γραμμένο και διαρθρωμένο εγχειρίδιο γεωμετρίας, που χρησιμοποιούνταν στα σχολεία ακόμη και τον 20ο αι. Το έργο αρχίζει με ορισμούς βασικών εννοιών, αιτήματα (δεδομένα της λογικής) και αξιώματα. Οι μαθηματικές προτάσεις που ακολουθούν διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: (α) σε αυτές για τις οποίες ζητείται να αποδειχθεί η αλήθειά τους (θεωρήματα), και (β) σε αυτές για τις οποίες ζητείται η κατασκευή ορισμένου γεωμετρικού σχήματος (προβλήματα).Στις πρώτες, μετά την απόδειξη, ο Ευκλείδης παραθέτει τη φράση ὅπερ ἔδει δεῖξαι, ενώ στις δεύτερες τη φράση ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Τα σχήματα που χρησιμοποιούνται είναι αυτά που μπορούν να κατασκευαστούν από τον κανόνα και τον διαβήτη, δηλ. η γραμμή, ο κύκλος και όσα προκύπτουν από τον συνδυασμό τους. (Προβλήματα όπως ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου και η τριχοτόμηση της οξείας γωνίας, που δεν μπορούσαν να λυθούν με αυτά τα όργανα, θεωρούνταν άλυτα.) Το περίφημο "Πυθαγόρειο θεώρημa" αποδιδόταν -όπως μαρτυρεί και το όνομά του- στον Πυθαγόρα (β᾽ μισό του 6ου αι. π.Χ.), αν και είναι βέβαιο ότι ήταν γνωστό ήδη στους Βαβυλώνιους (μαρτυρείται σε βαβυλωνιακό κείμενο, αλλά δεν συνοδεύεται από απόδειξη), ενώ η απόδειξη που απασχόλησε τους μαθηματικούς όλων των εποχών (λέγεται ότι μέχρι σήμερα έχουν καταγραφεί 370 διαφορετικές αποδείξεις του θεωρήματος). Η απόδειξη που ανθολογείται από τα Στοιχεῖα αποτελεί χαρακτηριστικό δείγμα του τρόπον διατύπωσης και απόδειξης των γεωμετρικών προβλημάτων στο έργο του Ευκλείδη.

[1.47] ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾽ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ —ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα— κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ {ἐστιν} ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ {ἐστι} τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον· βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. {τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·} ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις.
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν {γωνίαν} περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Στα ορθογώνια τρίγωνα το τετράγωνο της πλευράς που βρίσκεται απέναντι απότην ορθή γωνία [= της υποτείνουσας] είναι ίσο προς τα τετράγωνα1 των πλευρών που περιέχουν την ορθή γωνία.

 

Έστω το ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο που έχει ορθή γωνία την ΒΑΓ · λέγω ότι το τετράγωνο της ΒΓ είναι ίσο με τα τετράγωνα των ΒΑ, ΑΓ.

Ας αναγραφεί από την ΒΓ το τετράγωνο ΒΔΕΓ, και από τα ΒΑ, ΑΓ τα HB, ΘΓ, και από το Α ας αχθεί η ΑΛ παράλληλη είτε προς την ΒΔ ή την ΓΕ · ας ενωθούν οι ΑΔ, ΖΓ.2 Τότε, αφού καθεμιά από τις γωνίες ΒΑΓ, ΒΑΗ είναι ορθή, έπεται ότι με την ευθεία ΒΑ και στο σημείο Α που βρίσκεται πάνω σ᾽ αυτήν, δύο ευθείες, οι ΑΓ, ΑΗ, οι οποίες δεν βρίσκονται προς το ίδιο μέρος, κάνουν τις παρακείμενες γωνίες ίσες με δύο ορθές· συνεπώς η ΓΑ κείται σε μία ευθεία με την ΑΗ. Για τον ίδιο λόγο η ΒΑ βρίσκεται σε μία ευθεία με την ΑΘ. Και επειδή η γωνία ΔΒΓ είναι ίση με τη γωνία ΖΒΑ, αφού είναι και οι δύο ορθές, ας προστεθεί σε καθεμιά η γωνία ΑΒΓ · ολόκληρη η γωνία ΔΒΑ είναι συνεπώς ίση προς την γωνία ΖΒΓ. Και επειδή η ΔΒ είναι ίση προς την ΒΓ και η ΖΒ προς την ΒΑ, οι δύο πλευρές ΔΒ, ΒΑ είναι ίσες προς τις πλευρές ΖΒ, ΒΓ αντιστοίχως· και η γωνία ΔΒΑ είναι ίση προς ολόκληρη τη γωνία ΖΒΓ. Η βάση συνεπώς ΑΔ είναι ίση προς τη βάση ΖΓ, και το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ίσο προς το τρίγωνο ΖΒΓ. Και το παραλληλόγραμμο ΒΛ είναι διπλάσιο του τριγώνου ΑΒΔ, αφού έχουν την ίδια βάση ΒΔ και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων ΒΔ, ΑΛ. Και το τετράγωνο HB είναι διπλάσιο του τριγώνου ΖΒΓ, αφού έχουν την ίδια βάση ΖΒ και βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων ΖΒ, ΗΓ. Άρα το παραλληλόγραμμο ΒΛ είναι ίσο προς το τετράγωνο HB. Παρομοίως μπορεί να αποδειχθεί, εάν ενωθούν οι ΑΕ, ΒΚ, ότι το παραλληλόγραμμο ΓΛ είναι ίσο προς το τετράγωνο ΘΓ. Άρα ολόκληρο το τετράγωνο ΒΔΕΓ είναι επίσης ίσο προς τα δύο τετράγωνα HB, ΘΓ.3 Και το τετράγωνο ΒΔΕΓ έχει αναγραφεί από την ΒΓ, ενώ τα τετράγωνα HB, ΘΓ από τις ΒΑ, ΑΓ. Άρα το τετράγωνο της πλευράς ΒΓ είναι ίσο με τα τετράγωνα των πλευρών ΒΑ, ΑΓ.

Άρα στα ορθογώνια τρίγωνα το τετράγωνο της πλευράς απέναντι από την ορθή γωνία [= της υποτείνουσας] είναι ίσο προς τα τετράγωνα των πλευρών που περιέχουν την ορθή γωνία· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

 

(μετάφραση Σταύρος Τσιτσιρίδης)

 

1 Εννοείται όχι του καθενός ξεχωριστά αλλά του αθροίσματός τους.

2 Στο σχήμα οι ευθείες ΑΛ, ΒΚ, ΓΖ συναντώνται σ᾽ ένα σημείο σχηματίζοντας τον περίφημο "ανεμόμυλο".

3 Εννοείται: αν ληφθούν μαζί.