1.4 Μονόμετρα και διανυσματικά μεγέθη

Τα φυσικά μεγέθη τα οποία καθορίζονται πλήρως από την αριθμητική τιμή και από τη μονάδα μέτρησης τους ονομάζονται μονόμετρα η βαθμωτά μεγέθη. Είναι αρκετό να πούμε ότι το θρανίο έχει μήκος 3 μέτρα και ότι μία διδακτική ώρα έχει χρονική διάρκεια 45 λεπτά. Δεν είναι όμως αρκετό να πούμε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 80 χιλιόμετρα την ώρα, διότι είναι άγνωστη η διεύθυνση και η φορά κατά την οποία κινείται το αυτοκίνητο. Η ταχύτητα, επομένως, για να οριστεί πλήρως, χρειάζεται, εκτός από το μέτρο της, τη διεύθυνση και τη φορά, που μαζί ονομάζονται κατεύθυνση της ταχύτητας.

Τα μεγέθη αυτά ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη. Άλλα διανυσματικά μεγέθη είναι η επιτάχυνση, η δύναμη, η ορμή κ.ά.

Επομένως, για να καθοριστούν πλήρως τα διανυσματικά μεγέθη, απαιτούνται:

• Το μέτρο τους (αριθμητική τιμή και μονάδα μέτρησης).

• Ο φορέας η η διεύθυνση, δηλαδή η ευθεία γραμμή πάνω στη οποία π.χ. θα κινηθεί ένα κινητό ή θα εφαρμοστεί μια δύναμη.

• Η φορά προς την οποία π.χ. θα κινηθεί το κινητό ή θα ασκηθεί μια δύναμη. Η διεύθυνση μαζί με τη φορά εκφράζονται με τον όρο κατεύθυνση.

• Το σημείο εφαρμογής, δηλαδή σε ποιο σημείο του σώματος π.χ. θα εφαρμοστεί η δύναμη.

Για τα μονόμετρα μεγέθη ισχύει ο αλγεβρικός λογισμός. Δηλαδή, η πρόσθεση και η αφαίρεση δύο ομοειδών μονόμετρων μεγεθών γίνεται όπως και με τους αριθμούς. Αν, π.χ, ένα αυτοκίνητο κινηθεί αρχικά για χρόνο t1=5s και στη συνέχεια για άλλα t2=7s, ο συνολικός χρόνος της κίνησης υπολογίζεται από τη σχέση: tολ= t1 + t2= 5s +7s =12s.

Για τα διανυσματικά, όμως, μεγέθη ακολουθείται ο διανυσματικός λογισμός, δηλαδή ο τρόπος με τον οποίο προστίθενται και αφαιρούνται τα διανύσματα. Για το λόγο αυτό πρέπει να γνωρίζει κανείς αν τα διανυσματικά ομοειδή μεγέθη είναι συγγραμμικά, ομόρροπα ή αντίρροπα, ή αν οι φορείς τους σχηματίζουν γωνία.

Εικόνα 1.10 Πώς σχετίζεται η εικόνα αυτή με το γεγονός ότι πρέπει να υπάρχουν διανυσματικά μεγέθη;

Εικόνα 1.11 Συγγραμμικά διανύσματα

Δυο ή περισσότερα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά, αν οι φορείς τους είναι παράλληλοι. Τα τρία διανύσματα στο σχήμα 1.11 είναι συγγραμμικά.

Τα διανύσματα α και β έχουν επιπλέον και ένα άλλο κοινό χαρακτηριστικό: έχουν την ίδια φορά και λέγονται ομόρροπα. Το διάνυσμα γ έχει αντίθετη φορά από τα άλλα δυο. Τα διανύσματα αυτά, που έχουν παράλληλους φορείς αλλά αντίθετη φορά, λέγονται αντίρροπα. Για να συνθέσουμε δυο διανυσματικά μεγέθη εφαρμόζουμε τη διαδικασία εκείνη με την οποία τα διανύσματα γίνονται διαδοχικά. Στα ομόρροπα διανύσματα η διαδικασία είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα 1.12. Το τέλος του πρώτου διανύσματος γίνεται αρχή του δευτέρου.

Εικόνα 1.12 Σύνθεση ομόρροπων διανυσμάτων

Εικόνα 1.13 Σύνθεση δύο μη συγγραμμικών διανυσμάτων

Όταν τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, το πρώτο βήμα είναι να γίνουν διαδοχικά με τη διαδικασία που φαίνεται στο σχήμα 1.12, η οποία ονομάζεται κανόνας του παραλληλογράμμου. Με τη βοήθεια των δυο διανυσμάτων α, β σχηματίζεται ένα παραλληλόγραμμο, του οποίου η διαγώνιος γ είναι η σύνθεση ή συνισταμένη των δυο διανυσμάτων, το διάνυσμα δηλαδή που μπορεί να αντικαταστήσει τα διανύσματα α, β, τα οποία λέγονται συνιστώσες.

Η σύνθεση των δυο διανυσμάτων α και β, η οποία είναι γεωμετρικό άθροισμα, γράφεται ως εξής: α + β = γ.

Όμως το μέτρο της συνισταμένης γ των δυο διανυσμάτων δε βρίσκεται από τη σχέση γ=α+β αλλά από τη σχέση: γ2 = α2 + β2 + 2αβσυνφ (φ είναι η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα α,β).

Περισσότερα για την εύρεση της συνισταμένης δυο ή περισσότερων διανυσματικών μεγεθών φαίνονται στην εικόνα 1.14.

Εικόνα 1.14 Σύνθεση διανυσματικών μεγεθών