1.7 Ιδανικά αέρια

Όπως είδαμε, η σχέση: ΔV = V0 β ΔΤ δεν είναι πολύ βολική στην περιγραφή της διαστολής των αερίων, εν μέρει γιατί η διαστολή είναι πολύ μεγάλη και εν μέρει γιατί τα αέρια γεμίζουν οποιοδήποτε δοχείο στο οποίο θα βρεθούν. Οπότε, η εξίσωση αυτή έχει νόημα, μόνο αν η πίεση διατηρείται σταθερή.

Ακόμη, είδαμε ότι η αύξηση του όγκου και της πίεσης των αερίων με την αύξηση της θερμοκρασίας είναι άμεση συνέπεια της αύξησης της μέσης ταχύτητας με την οποία κινούνται τα μόρια τους και όχι της μέσης απόστασης που αυτά έχουν μεταξύ τους, όπως συμβαίνει στα στερεά και στα υγρά. Είναι, συνεπώς, λογικό να αναζητήσουμε μια σχέση ανάμεσα στη θερμοκρασία και στη μέση ταχύτητα των μορίων.

Ακόμη, είναι χρήσιμο να βρούμε μια σχέση ανάμεσα στον όγκο, στην πίεση, στη θερμοκρασία και στη μάζα ενός αερίου. Μια τέτοια σχέση ονομάζεται καταστατική εξίσωση. (Με τον όρο καταστατική εννοούμε ότι περιγράφει την κατάσταση στην οποία βρίσκεται η ποσότητα του αερίου που εξετάζουμε).

Αν η κατάσταση μιας ποσότητας αερίου αλλάζει, περιμένουμε πάντα, ώσπου η θερμοκρασία και η πίεση να έχουν παντού την ίδια τιμή. Θεωρούμε, δηλαδή, πάντα καταστάσεις ισορροπίας. Τα συμπεράσματα που θα βγάλουμε είναι ακριβή μόνο για αέρια που δεν είναι πολύ πυκνά (όπως αυτά που βρίσκονται σε ατμοσφαιρική πίεση ή μικρότερη) και απέχουν από το σημείο υγροποίησης.

Τα αέρια που πληρούν αυτές τις προϋποθέσεις τα θεωρούμε ιδανικά.

Για τα ιδανικά αέρια η καταστατική εξίσωση, η οποία λέγεται και νόμο των ιδανικών αερίων, παρέχεται από τη σχέση: Νόμος των ιδανικών αερίων PV = nRT όπου n είναι ο αριθμός των γραμμομορίων του αερίου το οποίο περιέχονται στην ποσότητα που εξετάζουμε: n = m/Mmol R η παγκόσμια σταθερά των αερίων R= 8,315 J/(mol. K) (S.I.) ή R = 1,987 Cal/(mol. K).

Μερικές φορές είναι χρήσιμο να εκφράσουμε το νόμο των ιδανικών αερίων σε συνάρτηση με τον ολικό αριθμό των σωματιδίων Ν τα οποία περιέχονται στην ποσότητα του αερίου που εξετάζουμε και όχι με τον αριθμό των γραμμομορίων n.

Για το σκοπό αυτό πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το δεξιό μέλος της σχέσης PV = Nrt με τον αριθμό του Avogadro ΝΑ = 6,022 x 1023 σωμ./mol, λαμβάνοντας υπόψη ότι το γινόμενο (n ΝΑ) εκφράζει τον ολικό αριθμό των σωματιδίων Ν τα οποία περιέχονται στην ποσότητα του αερίου που εξετάζουμε.

Δηλαδή: [pic] (5α)

Ο σταθερός λόγος [pic] αναφέρεται ως σταθερά του Boltzmann και παριστάνεται με το σύμβολο κ.

Σταθερά του Boltzmann [pic].

Οπότε, ο νόμος των ιδανικών αερίων γίνεται: [pic] (5β)

Προσοχή: Όταν ο νόμος των ιδανικών αερίων εφαρμόζεται σε κανονικές συνθήκες (Ρ = 1 atm, θ = 0 °C), πρέπει αυτές να μετατρέπονται στο διεθνές σύστημα μονάδων (S.I.).

Δηλαδή, 1 atm = 1,013 x 105 Pα, T = 0 + 273 = 273 K.

Παρατήρηση: Για όλα τα αέρια (ιδανικά) ένα γραμμομόριο υπό κανονικές συνθήκες καταλαμβάνει τον ίδιο όγκο, ο οποίος ονομάζεται γραμμομοριακός όγκος και ισούται με 22,4 lt. [pic]

Ο νόμος των ιδανικών αερίων, όσο χρήσιμος και αν είναι, δε μας δίνει τη δυνατότητα να διακρίνουμε με ποιο τρόπο η πίεση και η θερμοκρασία σχετίζονται με τη συμπεριφορά των ίδιων των μορίων.

Ένα δοχείο με αέριο, υπό κανονικές συνθήκες πίεσης και θερμοκρασίας, περιέχει έναν τεράστιο αριθμό μορίων, τα οποία βρίσκονται σε συνεχή τυχαία κίνηση, συγκρουόμενα τόσο μεταξύ τους όσο με τα τοιχώματα του δοχείου. Στο διάστημα ενός δευτερολέπτου κάθε μόριο υφίσταται πάρα πολλές συγκρούσεις, και καθεμία αλλάζει το μέτρο και τη διεύθυνση της ταχύτητας του, με αποτέλεσμα τα μόρια, γενικά, να έχουν διαφορετικές ταχύτητες. Είναι δυνατόν όμως να μιλήσουμε για μια μέση ταχύτητα των μορίων. Κάθε χρονική στιγμή κάποια μόρια έχουν ταχύτητες μικρότερες από τη μέση, μερικά μεγαλύτερη από τη μέση και τα περισσότερα ταχύτητες κοντά στη μέση. Σε συνθήκες χαμηλής πυκνότητας η κατανομή των μορίων ανά μονάδα ταχύτητας σε συνάρτηση με την ταχύτητα, για ένα μεγάλο πλήθος μορίων υπό σταθερή θερμοκρασία υπολογίστηκε από τον Jemes Clerk Maxwell (1832-1879) και αποδίδεται από το εικόνα 1.37.

Εικ. 1.37 Καμπύλες κατανομής Maxwell των μορίων του οξυγόνου για θερμοκρασίες 200 και 1200 Κ. Στον οριζόντιο άξονα είναι η ταχύτητα των μορίων του αερίου και στον κατακόρυφο ο αριθμός των μορίων των οποίων η ταχύτητα βρίσκεται στο διάστημα μεταξύ υ και υ + Δυ.

Παρατηρούμε ότι η πιο πιθανή ταχύτητα, δηλαδή η ταχύτητα που έχει το μεγαλύτερο ποσοστό των μορίων του αερίου, μετατοπίζεται προς μεγαλύτερες τιμές με την αύξηση της θερμοκρασίας. Το εμβαδόν κάθε καμπύλης εκφράζει το σύνολο των μορίων του αερίου που εξετάζουμε. Παρατηρούμε ότι υπάρχουν πάντα μόρια που έχουν ταχύτητες πολύ μικρές αλλά και μόρια που έχουν πολύ μεγάλες.