Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου
Έξοδος υγρού από πλευρικό άνοιγμα: θεώρημα Toricelli
Όσον αφορά τις δεξαμενές μεγάλης χωρητικότητας μπορούμε να δεχτούμε ότι, ενώ το υγρό ρέει από μικρό άνοιγμα, η ελεύθερη επιφάνεια μένει για κάποιο χρόνο ακίνητη. Η δεξαμενή στην εικόνα 7.45 είναι δείγμα μόνο μιας τέτοιας παραδοχής. Εξετάζουμε τα σημεία 1 και 2.
Σημείο 1: Στατική πίεση ίση με την ατμοσφαιρική: pσ=pα
Δυναμική πίεση αμελητέα (υ1= 0): pδ= 0. Υψομετρική πίεση: Ρυ=ρ gh.
Σημείο 2: Στατική πίεση ίση, επίσης, με την ατμοσφαιρική: [pic] Δυναμική πίεση: [pic] Υψομετρική πίεση μηδέν (h = 0): [pic].
Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli: [pic] ή [pic] Τελικά: [pic] (7.15)
Εικόνα 7.45: Για την επιβεβαίωση του θεωρήματος Toricelli
Η σχέση (7.15) εκφράζει το θεώρημα Toricelli: "Η ταχύτητα με την οποία ρέει ιδανικό υγρό ύψους h από μικρό άνοιγμα μεγάλης δεξαμενής είναι ίση με την ταχύτητα ελεύθερης πτώσης μιας μάζας του υγρού από το ίδιο ύψος".
Ας σχολιάσουμε με εξήγηση: Στην εικόνα 7.46 βλέπουμε τρία παραδείγματα εφαρμογής του θεωρήματος Toricelli. Αιτιολογούμε όσα βλέπουμε βασιζόμενοι σε θεωρήματα που μελετήσαμε πρόσφατα (Toricelli) και παλιότερα (διατήρησης ορμής και ενέργειας).
Εικόνα 7.46: Παραδείγματα εφαρμογής του θεωρήματος Toricelli
Παράδειγμα δυναμικής ιδανικού ρευστού: Σωλήνας παροχής φυσικού αερίου έχει την αρχή της εγκατάστασης διάμετρο 10mm και στην είσοδο σπιτιού διάμετρο 5mm. Αν η ταχύτητα εισαγωγής του αερίου στην οικιακή εγκατάσταση είναι 25 m/s να βρεθούν: α) πόση είναι η ταχύτητα εκροής του αερίου από την παραγωγή, β) πόση είναι η παροχή του φυσικού αερίου, γ) σε πόσο χρόνο η κατανάλωση φτάνει το 1m3. Λύση: α) Από την εξίσωση συνέχειας έχουμε Α1υ1 = Α2υ2, όπου Α1, Α2 οι διατομές στα δυο σημεία που μας ενδιαφέρουν, και [pic] (r = ακτίνα και δ = διάμετρο σωλήνα). Άρα: [pic] Τελικά: [pic] Βρίσκουμε: [pic]. β) [pic] Άρα: [pic] Βρίσκουμε: [pic] γ) [pic], άρα [pic]. Τελικά: [pic].